P تعداد وقفه واریانس شرطی می باشد.
اغلب در عمل مدل گارچ(۱و۱) برآورد می شود. برای بررسی اینکه چرا گارچ به آرچ ترجیح داده می شود، مدل گارچ(۱و۱) را در نظر گرفته شده است.
با جایگذاری داریم
با ادامه روند فوق معادله زیر بدست می آید:
که رابطه اخیر معادله مدل آرچ() است. بنابراین می توان نتیجه گرفت مدل گارچ در مقایسه با مدل آرچ بهتر می باشد.
۳-۱-۲-۴) مدل گارچ نمایی((EGARCH[39])
همان گونه که قبلا ذکر شد مطالعات تجربی روی بازدهی دارایی های ریسکی نشان داد که نوسانات آینده بازدهی سهام از شوک های مثبت در مقایسه با شوک های منفی تاثیرپذیری کمتری دارد. مدل های آرچ و گارچ به عنوان مدل های متقارن شناخته می شوند که نمی توانند بین اثر شوک های مثبت و منفی تفاوتی قائل شوند. بنابراین مدل هایی برای بررسی اثرگذاری متفاوت شوک های مثبت و منفی پیشنهاد شد که به مدل های گارچ نامتقارن معروف می باشند. مدل گارچ نمایی که توسط نلسون(۱۹۹۱)[۴۰] پیشنهاد شد یکی از این مدل هاست. او در این مدل واریانس های شرطی را به صورت لگاریتمی محاسبه می کند. محاسبه لگاریتمی واریانس های شرطی موجب می شود تا دیگر نیازی به استفاده از مربع جملات خطا نباشد و بنابراین مدل از حالت تقارن خارج می شود. واریانس های شرطی درمدل گارچ نمایی به صورت معادله زیر محاسبه می شوند:
در مطالعات دیگر مدل گارچ توسعه یافته است و برای حالت های مختلف مدل های دیگری از قبیل
گارچ آستانه ای [۴۱] ، گارچ مارکوف سوئیچینگ[۴۲] ، گارچ در میانگین[۴۳] ، مدل های گارچ ناپارامتریک[۴۴] و… پیشنهاد شده اند.
۳-۱-۳) مدل های گارچ چند متغیره[۴۵]
مدل های آرچ و گارچ تک متغیره به مدل های آرچ وگارچ چند متغیره[۴۶] بسط یافته اند که قادرند ویژگی های بارز بازدهی بازارهای سهام شامل کشیدگی ها[۴۷]، اثرات اهرمی[۴۸] و خوشه بندی نوسانات[۴۹] را به دست آورند که به وسیله مدل های آرچ و گارچ تک متغیره قابل برآورد نبودند. در مدل های گارچ چند متغیره ماتریس واریانس کواریانس جمله های اخلال سری ها برآورد می شود، در حالیکه در مدل های تک متغیره فقط واریانس جملات اخلال سری ها محاسبه می شود. از این رو، مدل گارچ چند متغیره برای تحلیل هم حرکتی نوسانات و اثرات اهرمی بین بازارهای سهام بین المللی و تشخیص شواهدی مبنی بر وجود انتقال نوسانات در میان بازارهای سهام مختلف بوسیله چو، لین و وو (۱۹۹۹)[۵۰]، بروکز و هنری(۲۰۰۰)[۵۱] و لی(۲۰۰۷)[۵۲] به کار گرفته شده است.
بیشترین تصریحات مدل گارچ چند متغیره که تاکنون استفاده شده اند مدل گارچ برداری (VECH) بلرسلو، انگل و وولدریج( ۱۹۸۸)[۵۳]، خود همبستگی شرطی ثابت (CCC) بلرسلو(۱۹۹۰)[۵۴]، مدل BEKK بابا، انگل، کرافت و کرونر(۱۹۹۰)[۵۵] و انگل و کرونر( ۱۹۹۳)[۵۶] و مدل خود همبستگی شرطی پویا(DCC) انگل(۲۰۰۲)[۵۷] می باشند.
۳-۱-۳-۱)مدل گارچ برداری(VECH[58])
مدل گارچ برداری توسط بلرسلو، انگل و وولدریج(۱۹۹۸) برای یافتن ماتریس واریانس و کواریانس استفاده شده است. طبق شیرر و ریباریتز(۲۰۰۷)[۵۹]، این مدل در زمانی که تعداد متغیر ها بیش از دوتاست انعطاف پذیر تر است. تصریح مدل گارچ برداری به صورت زیر می باشد:
که در آنA و Bماتریس پارامترها با ابعاد۱/۲N(N+1)1/2N(N+1) و C یک بردار۱/۲N(N+1)1 است و vech(.)، عملگریست که ماتریس پایین مثلثی را به بردار ستونی تبدیل می کند.
۳-۱-۳-۲) مدل گارچ BEKK
این مدل توسط بابا، انگل، کرافت و کرونر(۱۹۹۰) و انگل و کرونر( ۱۹۹۳) معرفی شد. تصریح مدل به صورت زیر می باشد:
که فرایند نوفه سفید[۶۰] با ماتریس واریانس- کواریانس I می باشد.B نیز ماتریس بالا مثلثی میباشد.
۳-۱-۳-۳) مدل همبستگی شرطی ثابت (CCC[61])
مدل همبستگی شرطی ثابت (CCC) که توسط بلرسلو(۱۹۹۰) ارائه شد ماتریس واریانس کواریانس را به صورت زیر تجزیه می کند:
که در آن ماتریس همبستگی شرطی می باشد که عناصر آن به صورت زیر تعریف می شوند:
و ماتریس قطری با عناصر می باشد. مدل گارچ CCC فرض می کند که ضرایب همبستگی شرطی، ثابت می باشند یعنی
با فرض فوق این مدل تنها به برآورد N مدل گارچ تک متغیره احتیاج خواهد داشت.
۳-۱-۳-۴) مدل همبستگی شرطی پویا (DCC[62])
مدل CCC توسط انگل(۲۰۰۲) به مدل همبستگی شرطی پویا (DCC) بسط یافته است. در این مدل ضرایب همبستگی شرطی به صورت زیر برآورد می شوند:
که در آن
می باشد.
۳-۲) تصریح الگو
۳-۲-۱) معرفی الگو برای بررسی اثرگذاری بازدهی ها و نوسانات چهار کشور به طور همزمان
فرایند تصادفی اتورگرسیو برداری برای بازدهی دارایی ها از معادله (۱) بدست می آید. بازدهی دارایی های کشور i در زمان t( را می توان به صورت زیر نوشت:
که در آنi=1 ایران، i=2 ترکیه،i=3 مالزی و i=4 امریکا می باشد، بیان گر عرض از مبدا کشور i است و( برای i =1,…,۴و j) نمایانگر میانگین شرطی بازدهی سهام است که وقتی i=j، نمایانگر تاثیر بازدهی گذشته خود کشورi () و وقتی iنمایانگر تاثیر بازدهی های گذشته کشورj () می باشد. جمله اخلال نیز تغییرات تصادفی (شوک ها) کشور i را نشان می دهد.
عناصر قطری و غیر قطری ماتریس واریانس کواریانس شرطی با ابعاد ۴ به ترتیب نشان دهنده عناصر واریانس و کواریانس هستند:
که در آن ، واریانس شرطی بازدهی سهام کشور i در زمانt و کواریانس شرطی بین بازدهی های سهام کشورهای i وj در زمان t می باشند. اگرچه راه های زیادی برای تصریح گارچ چند متغیره وجود دارد، در این تحقیق از مدل گارچ برداری قطری بلرسلو، انگل و وولدریج(۱۹۹۸) برای یافتن ماتریس واریانس و کواریانس استفاده شده است. طبق شیرر و ریباریتز(۲۰۰۷)، این مدل در زمانی که تعداد متغیر ها بیش از دوتاست انعطاف پذیر تر است.
به دلیل وجود تعداد زیاد پارامتر ها بلرسلو، انگل و وولدریج(۱۹۹۸) نسخه محدود شده این مدل را که به مدل گارچ برداری قطری شناخته می شود، به صورت زیر معرفی کردند:
که در آن ماتریس های ضرایب A و B، ماتریس های متقارن و عملگر “"، عملگر ضرب درایه به درایه می باشد. در ماتریس A اثرات مربع شوکهای گذشته بر نوسانات جاری بوسیله عناصر قطری () اندازه گیری می شوند، در حالیکه عناصر غیرقطری درآن (i) اثرات متقاطع حاصل از شوکهای گذشته را روی نوسانات مشترک نشان میدهند. به طور مشابه، در ماتریسB عناصر قطری () تاثیر مربع نوسانات گذشته را روی نوسانات جاری و عناصر غیر قطری اثرات حاصل از نوسانات مشترک گذشته را بر نوسانات مشترک فعلی ارزیابی می کنند.